1․ Լուծել հավասարումների համակարգը։

4x-4=0

4x=+4

x=1

3x+y-5=0

3+y-5=0

y=+5-3

y=2

(1;2)

2․ Որոշել y=3x+6 ֆունկցիայի գրաֆիկի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերի կոորդինատաները.

y=3x+6

a=(-2,0)

b=(0,6)

Պատ.՝ (-2,0) (0,6)

3․ Որոշել ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերի կոորդինատները. y=x-6 և y=2x

x-6=2x

-6=2x-x

-6=x

y=2*(-6)=-12

(-6,-12)

պատ.՝ (-6,-12)

4․ Գտնել հետևյալ ax+4y=16 հավասարման a գործակիցն այնպես, որ դրա գրաֆիկը անցնի (2;3) կետով:

a*2+4*3=16

2a+12=16

2a=16-12

2a=4

Պատ.՝ 2

5․ Երկու թվերի գումարը 25 է, իսկ տարբերությունը՝ 11: Գտնել այդ թվերը:

x+y=25

x-y=11

2x=36

x=18

y=7

Պատ.՝ 18 և 7

Թեմա՝ Երկու անհայտով երկու գծային հավասարումների համակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը։

Դիցուք տրված է x և y անհայտներով գծային հավասարումների համակարգ՝

{a₁x+b₁y+c₁=0 a₂x+b₂y+c₂=0

(x;y) թվազույգը կոչվում է համակարգի լուծում, եթե այն բավարարում է համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրին:

Առաջին աստիճանի գծային հավասարմանը բավարարում են նրա գրաֆիկի՝ ուղիղ գծի վրա գտնվող բոլոր (x;y) կետերը:

Հետևաբար, եթե մենք ուզում ենք, որ բավարարվեն համակարգի երկու գծային հավասարումները միաժամանակ, ուրեմն պետք է փնտրել այնպիսի (x;y) կետեր, որոնք միաժամանակ պատկանում են երկու ուղիղներից յուրաքանչյուրին:

Ուշադրություն

Այսպիսով, համակարգի լուծումները համակարգի հավասարումներով տրվող ուղիղների (գրաֆիկների) ընդհանուր կետերն են:

Օրինակ

1. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{x+2y−5=0, 2x+4y+3=0

x+2y−5=0 հավասարման գրաֆիկն ուղիղ գիծ է: Կառուցենք այդ ուղիղը:  

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	5	0
y	0	2,5

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (5;0) և (0;2.5) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

2x+4y+3=0 հավասարման գրաֆիկը ևս ուղիղ գիծ է: 

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	−1,5	2,5
y	0	−2

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (−1.5;0) և (2.5;−2) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները զուգահեռ են և չունեն ընդհանուր կետեր:

Պատասխան՝ համակարգը լուծում չունի:   

Օրինակ

2. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{2x−y−5=0,2x+y−7=0

Համակարգի հավասարումները բերենք գծային ֆունկցիայի ընդհանուր տեսքին՝ y=2x−5 և y=−2x+7

y=2x−5 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	0	3
y	−5	1

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;−5) և (3;1) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

y=−2x+7 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	0	1
y	7	5

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;7) և (1;5) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները հատվում են A կետում, որի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:

Պատասխան՝ (3;1)

Օրինակներում կիրառեցինք համակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը:

Գրաֆիկական եղանակը հուսալի չէ, քանի որ միշտ չի հաջողվում ճշգրիտ գտնել հատման կետի կոորդինատները: Այդ պատճառով, խորհուրդ է տրվում գրաֆիկորեն գտնված կետը տեղադրել համակարգի հավասարումների մեջ և համոզվել, որ դրանք բավարարվում են:

Այսպիսով, գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:Գծային հավասարումների համակարգը գրաֆիկական եղանակով լուծելու համար անհրաժեշտ է՝

1. յուրաքանչյուր հավասարումը լուծել y-ի նկատմամբ,
2. կոորդինատային հարթության վրա կառուցել ստացված հավասարումներին համապատասխանող ուղիղները:

ա Եթե ուղիղները հատվում են, ապա նրանց հատման կետի կոորդինատներից բաղկացած թվազույգը կլինի համակարգի միակ լուծումը:

բ Եթե ուղիղները զուգահեռ լինեն, ապա համակարգը լուծում չունի:

գ Եթե ուղիղները համընկնեն, ապա համակարգն ունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ՝ այդ ուղղին պատկանող բոլոր կետերի կոորդինատների թվազույգերը:

1․ Որոշել ֆունկցիայի գրաֆիկի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերի կոորդինատաները.

ա) y=2x-7=0

0y -x=0 y=-7

0x -y=0 x=3,5

0y- (0:7)

0x- (35:0)

1. Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

x+3x=4x

4x=32

x=8

y=-24

(8:-24)

2. Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

3․ Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

4․ Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

1․ Տրված հավասարումներից y-ը արտանայտել x-ով:

ա) 2x+y=6

y=6 -2x

բ) 3x+y=7

y=7-3x

գ) x+y-8=12

y=12+8-x=20-x

դ) y+2=6x

y=6x-2

ե) 3x+2y=9

y=9-3x-2

զ) -4x+2y=13

2․ Տրված հավասարումներից x-ը արտանայտել y-ով:

ա) x-y+5=0

x=y-5

բ) 2x-3y+9=0

2x=3y-9

գ)15x+y-8=0

15x=-y+8

x=(-y+8)/15

դ) x+3y-15=0

x=-3y+15

ե) 7x+y=6

7x=-y

x=(-y)/7

զ) -4x+y=-19

-4x=-y

x=(-y)/-4

1. Հաշվել ա) 3³ , բ) 8² , գ) 6⁴ , դ) 1²⁰⁰⁰:

Ա)=27, Բ)=64, Գ)=1296, Դ)=1
2. Գրել ցուցչային տեսքով՝
ա) 2 ⋅ 2 ⋅ 2=2³
բ) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5=5⁶
գ) 2³ ⋅ 2 ⋅ 2=2⁵
3. Գրել 10 աստիճանի  տեսքով՝
ա) հարյուր հազար =10⁵
բ) մեկ միլիոն =10⁶
գ) մեկ միլիարդ: =10⁷
4. Հաշվել 10³ և 6² թվերի արտադրյալը։ =10³=10*10*10=1000, 6²=6*6=36, 1000*36=36000
5. Համեմատել ա) 2³⁰ և 2³¹ թվերը, բ) 7¹⁰ և 9¹⁰ թվերը։

2³⁰ < 2³¹

7¹⁰ < 9¹⁰

 6․ 5, 2, −5 թվերից որո՞նք են հետևյալ հավասարման լուծումները.
ա) 2 – 2 = 0,
բ) 2x5-10  = 0,
գ) 3x–5 +15 = 0,

7. –3, 12, 1, –5 թվերից որո՞նք են նշված հավասարման լուծում.

ա) -3 + 3 = 0,
բ) 2x12 – 25 = –1,

8. Ուղղանկյան պարագիծը 48 սմ է։ Գտնել ուղղանկյան կից կողմերի գումարը։

9․ Դպրոցի երկու դասարանում կա 54 սովորող, ընդ որում ՝ մի դասարանում մյուսից 4 սովորողով ավելի։ Քանի՞ սովորող կա դասարաններից յուրաքանչյուրում։ 

54-4=50

50:2=25

25+4=29

Պատ.՝ մի դասարանուն կա 25 հոգի մյուս դասարանում, 29 հոգի:

Երկու բազմանդամներ բազմապատկելու համար առաջին բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկում ենք երկրորդ բազմանդամի բոլոր անդամներով, այնուհետև կատարել նման անդամների միացում:

Օրինակ՝ 

(a+b)(a-b)=aa+a(-b)+ba+b(-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b²

Եթե պետք է գտնել մի քանի բազմանդամների արտադրյալը, ապա սկզբում   գտնում են դրանցից որևէ երկուսի արտադրյալը, այնուհետև ստացված բազմանդամը բազմապատկում են մնացածներից որևէ մեկով և այլն:

Օրինակ՝

(a-b)(2a+b)(3a-2b)=(a2a-b2a+ab-bb)(3a-2b)=(2a²-ab-b²)(3a-2b)=2a²3a-ab3a-b²3a-

-b²3a+2a²(-2b)+ab2b+b²2b=6a³-3a²b-3ab²-4a²b+2ab²+2b³=6a³-7a²b-ab²+2b³

Առաջադրանքներ

1) Կատարել բազմապատկում.

1)  (x+2)(x-3)=x²-3x+2x-6=x²-x-6

2) (5x+1)(2x+4)=10x²+20x+2x+4=10x²+22x+4

3) (3b+2)(4-b) =12b-3b²+8-2b=10b-3b²+8

4) (2y-5)(4y-3) =8y²-6y-20y+15=8y²-26y+15

5) (3a+4)(2a-3) =6a²-9a+8a-12=6a²-a-12

6) (7z-3)(5z-2)=35z²-14z-15z+6=35z²-29z+6

7) (2-4x²)(1-3x) =2-6x-4x²+12x³

9)(4b-5c)(3b³+4c) =12b⁴+16bc-15cb³-20c²

10) (2x-5y)(3x-2y) =6x²-4xy-15yx+10y²=6x²-19xy+10y²

2) Բազմանդամը վերլուծեք արտադրիչների.

ա) 2x+2y=2(x+y)

բ) 6a-3=3(2a)

գ) ax-ab=a(x-b)

դ) 2a+6ab=2a(1+3b)

ե) a²+a=a(a+1)

զ) 3x³-xy²=x(3x²-y²)

է) ax+bx+cx=x(a+b+c)

ը)5a³+10a²+15a=5a(a²+2a+3)

Միանդամը բազմանդամի հետ բազմապատկելիս, պետք է միանդամը հերթականությամբ բազմապատկել բազմանդամի բոլոր անդամներով:
Օրինակ՝
a(2-b+3a)=a2-ab+a3a=2a-ab+3a²

Իսկ հակառակ գործողությունը, երբ բազմանդամը ներկայացվում է միանդամի և մեկ այլ բազմանդամի արտադրյալի տեսքով, կոչվում է ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերում:
Օրինակ՝

x²y+x²y²=x²y(1+y)

Տրված բազմանդամը -1-ով բազմապատկելուց ստացված բազմանդամն անվանում են տրված բազմանդամի հակադիր բազմանդամ:
Օրինակ՝ a-b²+15 և -1(a-b²+15)=-a+b²-15 հակադիր բազմանդամներ են:

Առաջադրանքներ

1) Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը.

ա) x(x-y+10) =x² -xy+10x

բ) (x-y)(-3) = -3x+3y

գ) (a+b-c)a =a²+ab-ac

դ) (a-b+c)2b =2ab-2b²+2bc

2) Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերեք փակագծերից.

ա) 3a+ 3b=3(a+b)

բ) 2x-2y= 2(x-y)

գ) 5a+10 =5(a+2)

դ) 14-7y =7(2-y)

ե) 12x+6y =6(2x+y)

զ) 4-4a = 4(1-a)

է) ab-bc: =b(a-c)

3) Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը.

ա)(x²-xy+y²)(-12x²y³)

=-12x⁴y³+12x³y⁴-12y⁵x²

բ) 2a²b⁵(a⁴-5ab²-3b²):

=2a⁶b⁵-10a³b⁷-6a²b⁷

Բազմանդամների գումարը և տարբերությունը (դաս 6)

Մի քանի բազմանդամներ իրար գումարելիս կամ հանելիս օգտագործվում են փակագծեր, իսկ այդ փակագծերը բացելու համար պետք է օգտվել հետևյալ կանոններից.

• Եթե փակագծերի առջև դրված է պլյուս նշան, ապա փակագծերը կարելի է բաց թողնել առանց փոխելու նրանց մեջ գտնվող գումարելիների նշանները։
• Եթե փակագծերի առջև դրված է մինուս նշան, ապա փակագծերը կարելի է բաց թողնել փոխելով նրանց մեջ գտնվող գումարելիների նշանները։
• Եթե փակագծերի առջև որևէ նշան չկա, ապա ենթադրվում է, որ դրած է պլյուս նշան:

Առաջադրանքներ

ա 3,4

բ 15

գ 15

դ 15

ե 1,3

զ 3,9

է 4,14

2)

ա a+3c + 5ab-2b

բ a+3c-5ab+2b

գ 4a+c+2ab+3b+4m-n

դ 4a+c+2ab+3b-4m+n

ե =4a+c-2ab+3b+4m-n

զ =4a+c-2ab+3b-4m+n

3) Բազմանդամի առաջին երկու անդամները փակագծերի մեջ առեք` դրանց առջև դնելով մինուս նշան, իսկ վերջին երկուսը` փակագծերի մեջ` դնելով պլյուս նշան:

ա) x²-y²+2x-1

= -(-x²+y²) +(2x-1)

բ) -a²-3a²+4-a

= -(a²+3a²) +(4-a)

գ) 9y²-1-x²-6y

=-(-9y²+1) +(-x²-6y)

դ) -x+y+x²-y²:

= -(x-y) +(x²-y²)

Կատարյալ տեսքի բազմանդամներ (դաս 5)

Կասենք, որ բազմանդամն ունի կատարյալ տեսք, եթե նրա բոլոր անդամները գրված են կատարյալ տեսքով և նրանց մեջ չկան նման անդմաներ:

Օրինակ՝

կատարյալ տեսքի բազմանանդամներ են:

Երկու անդամներից բաղկացած կատարյալ տեսքի բազմանդամն անվանում են երկանդամ, երեք անդամներից բաղկացած կատարյալ տեսքի բազմանդամն անվանում են եռանդամ և այլն: Օրինակ՝

Ցանկացած բազմանդամ կարելի է բերել կատարյալ տեսքի:

Կատարյալ տեսքի ոչ զրոյական բազմանդամի աստիճան անվանում են նրա մեջ մտնող միանդամների աստիճաններից ամենամեծը:

Օրինակ՝ 20a³-2b+7 բազմանդամը գրված է կատարյալ տեսքով, նրա աստիճանը 3 է, քանի որ նրա մեջ մտնող միանդամների աստիճաններն են 3, 1 և 0, իսկ դրանցից ամենամեծը 3-ն է:
3x-5 բազմանդամի աստիճանը 1 է:
34 բազմանդամի աստիճանը 0 է: (0-ից տարբեր ցանկցած թիվ զրո աստիճանի բազմանդամ է:)
0-ն միակ բազմանդամն է, որի աստիճանը որոշված չէ:

Առաջադրանքներ

1) Գրել բազմանդամների 4 օրինակներ, բերել կատարյալ տեսքի և հաշվել աստիճանը: Օրինակ՝ 23ab³+21ab+6, հավասար է ⁴ աստիճան բազմանդամ:

Օրինակ 2՝ 10ab+80ab-9c³=90ab-9c³,=հավասար է ³ աստիճան բազմանդամ:

2) Բազմանդամը կատարյալ տեսքի՞ է և եթե ոչ, բերել կատարյալ տեսքի.

Ա ոչ կատարյալ տեսքի չէ m-3n+2m=3m-3n

Բ ոչ կատարյալ չէ 3xy-3yx+1=1

Գ կատարյալ է

Դ ոչ կատարյալ չէ a³b+ab³-2bab²=a³b+ab³-2b³a=a³b-ab³

3)  Բազմանդամը բերեք կատարյալ տեսքի և որոշեք նրա աստիճանը.

Ա 4a²b+5b²a+baa+3aba=4a²b+b²a+ba²+3a²b=8a²b+b²a, եռաստիճան բազմանդամ է:

Բ 5a³-7ax³+2ax³-a³x-ax³=5a³-6ax³-a³x:

Բազմանդամի հասկացությունը (դաս 4)

Միանդամների գումարն անվանում են բազմանդամ: Այդ գումարի մեջ մասնակցող միանդամներն անվանում են բազմանդամի անդամներ:

Օրինակ՝

a²+2ab+b²-ն բազմանդամ է, որտեղ a², 2ab, b²-ն` նրա անդամները:

x-y³-ը  ևս բազմանդամ է, չնայած նրա գրառման մեջ մասնակցում է մինուս նշան: Դա պայմանավորված է նրանով, որ x-y³=x+(-y³):

Միանդամը ևս համարում են բազմանդամ:

0 թիվն անվանում են զրոյական բազմանդամ:

Առաջադրանքներ

1) Բերեք բազմանդամների օրինակներ և նշեք նրա բոլոր անդամները: 2ab²+3cd³-2ab:

2) Կարելի՞ է արդյոք 2,5 թիվը համարել բազմանդամ: Այո

3) Բազմանդամը գրեք միանդամների գումարի տեսքով

ա) a-b =a+(-b)               գ) 2a-3=2a+(-3)

բ) -xy-y³ =(-xy)+(-y³)           դ) -2x²-0,5y=-2x²+(-0,5y)

4) Բազմանդա՞մ է, արդյոք, տրված արտահայտությունը.

ա) 2a-43   Այո

բ) 8,734     Այո

գ) ab-4 Այո

դ)  0: Այո (զրոյական բազմանդամ)