Category: Հանրահաշիվ

Թեմա՝ Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների հետ։ Վարժությունների լուծում թեման ամրապնդելու համար։

1․ Միանդամն ընտրել այնպես, որ հավասարությունը ճիշտ լինի՝

Ա. 2

Բ. 40

Գ. A=-12

Դ. A=-75

Ե. A=5b

Զ. A=36x²y

2․ Արտահայտությունը գրել կոտորակի տեսքով․

Ա. 3a/2

Բ. 2x/3

Գ. -13x/7

Դ. (6+a)/3

Ե. (a+1)/a

Զ. (1-ab)/b

3․Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․

Ա. (b+a)/ab

Բ. (2y-3x)/xy

Գ. (bx+ay)/ab

Դ. (5ax-7b)/7x

Ե. (3-2a)/6a

Զ. (bc-a)/abc

4․ Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․

Ա. (cm+bm)/abc

Բ. (2ab-5an)/mnb

Գ. (6a-8b)/m

Դ. (z-y)/yz

5․Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․

Ա. (-x)/8

Բ. 7a/24

Գ. (m²-3m)/3

Դ. (5a-3)/30

Ե. (11x+9)/24

Զ. (5a-13)/30

6. Կատարել գործողությունները․

а) 1/3

б) 6y

в) 4ab

г) 3a/(a-b)

7․Կատարել գործողությունները․

1) 2/x

2) 6axy

3) 13mx/3n

4) 3x

5) 11x²/3ab

6) 4a³/5by

8․Կատարել գործողությունները․

а) 5x/(x+y)

б) (a-2)/2

в) 3/y+3

г) (b+c)/2b

9․Կատարել գործողությունները․

а) 9x/8by

б) 1/z-y)

в) 3b⁵/2⁴x¹⁰c²

г) -2x/(2x-5)

Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկումը և բաժանումը:

Կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել համարիչով, իսկ հայտարարը՝ հայտարարով և առաջին արտադրյալը գրել համարիչում, իսկ երկրորդը՝ հայտարարում:

Հանրահաշվական կոտորակների արտադրյալը նույնաբար հավասար է մի կոտորակի, որի համարիչը հավասար է համարիչների արտադրյալին, իսկ հայտարարը՝ հայտարարների:

Եթե հնարավոր է, ապա ստացված կոտորակը կրճատում են:

Արտադրյալը սահմանվում է փոփոխականի միայն այն արժեքների համար, որոնց դեպքում կոտորակների հայտարարները հավասար չեն զրոյի:

Այսինքն՝ եթե A/B -ն և C/D -ն երկու հանրահաշվական կոտորակներ են, որտեղ A -ն, B -ն, C -ն և D -ն բազմանդամներ են, ապա A/B⋅C/D=A⋅C/B⋅D, որտեղ B≠0,D≠0:

Օրինակ

Կատարենք բազմապատկումը՝ 12a⁴/25b³⋅(−5b²/6a⁴)

Լուծում: Դրական և բացասական թվերի արտադրյալը բացասական թիվ է, այդ պատճառով կոտորակի առջևում դնում ենք մինուս նշանը:

Որպեսզի մի կոտորակ բաժանել մյուսի վրա, պետք է համարիչի կոտորակը բազմապատկել հայտարարի կոտորակի հակադարձ կոտորակով:

Օրինակ

Նույն կանոնը գործում է նաև հանրահաշվական կոտորակների դեպքում՝ կոտորակները բաժանելու համար պետք է համարիչի կոտորակը բազմապատկել հայտարարի կոտորակի հակադարձ կոտորակով:

Եթե հնարավոր է, ապա համարիչի և հայտարարի արտահայտությունները վերլուծվում են արտադրիչների և կրճատվում:

Կանոնը մնում է ուժի մեջ, երբ արտահայտություններից մեկը բազմանդամ է: Այդ դեպքում պետք է բազմանդամը ներկայացնել 1 հայտարարով կոտորակի տեսքով:

Օրինակ

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ինչպե՞ս են բազմապատկվում հանրահաշվական կոտորակները։

Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկման ժամանակ համարիչները բազմատկում ենք իրար, հայտարարները՝ իրար:

2․Ինչպե՞ս են բաժանվում հանրահաշվական կոտորակները։

Հանրահաշվական կոտորակների բաժանման ժամանակ առաջին կոտորակը թողնում ենք նույնությամբ, իսկ երկրորդը շրջում ենք և նույնպես բազմապատկում:

3․Կատարել գործողությունները․

Ա) a*c/b*d

Բ) x*b/y*a

Գ) 12/b

Դ) 2p/3q

Ե) ax²/2by²

Զ) 5x/2by

4․Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․

Ա) 2b(a-b)/a

Բ) 2(x-y)/xy

Գ) 4n/n+m

Դ) 2/b+1/(a+2)

Ե) X/2(x-y)

Զ) (4-m) (m+3)/ m²

5․Կատարել բազմապատկում և բաժանում․

Ա) q(p-q)/p²

Բ) a-3b/a²

Գ) (x+y)/2x

Դ) 3/4

6․Կատարել բազմապատկում և բաժանում․

Ա) 2n(m+n)

Բ) a³-b³

Գ) a+b/3b(a²+ab+b²)

Դ) (x³+y³)/2(x-y)²

Ե) 1/p+2q

Զ) 2(2a+b)/(2a-b)(a-2b)

Գիտելիքների ստուգում։

1. Հաշվել  աստիճանի  արժեքը․

ա) 3^-3  բ) ( 5/2)^-2        դ) 3⁸ : 3⁵  ե) 25⁰

Ա) 3-³=1/3³=1/27=0,037

Բ) ( 5/2)^-2 = 1/( 5/2)²=1:5²/2²=1×2²/5²=4/25=0,16

Դ) 3⁸ : 3⁵  =3^(8-5)=3³=27

Ե) 25⁰=0

2․ Գրել  աստիճանի տեսքով․

ա)1/35⁹       բ)n¹⁴/n¹⁸      գ) 9¹⁵ •9⁷       դ) 3^-8:3^-19

Ա) 1/35⁹=(1/35)⁹
Բ) n¹⁴:n¹⁸=n^-4=1/n⁴=(1/n)⁴
Գ) 9¹⁵ •9⁷ =9⁽¹⁵⁺⁷⁾=9²²
Դ) 3^-8:3^-19=3^(-8-(19))=3¹¹

3․ Համեմատել  կոտորակները:

ա)(5/16)⁹   <  (9/16)⁹    բ)(13/24)¹⁹  < (13/24)²⁷

5․ Ներկայացնել միանդամի տեսքով․

ա) (a^-6b^-3)^-3                    բ) (7m^-5n^-6)^-7

ա) (a^-6b^-3)^-3 = a¹⁸ b⁹

բ) (7m^-5n^-6)^-7=7^-7m³⁵n⁴²

6․ Կրճատել կոտորակները․

Ա) 2/(a-b)/6ab=(a-b)/3ab

Բ) 2x-2y/6x-6y=2(x-y)/6(x-y)=1/3

Գ) 25m³n(x+y)/60m²n²(x+y)²=5m/12n(x+y)

7․ Կոտորակները   բերել  ընդհանուր հայտարարի․

Ա) 12/7 և 7/6= 12*6/7*6=72/42 և 7*7/6*7=49/63,

Բ) 52y/5x(x-y) և 5/(x-y) 52y/5x(x-y) և 5*5x/5x*(x-y),

Գ) a/(a-b) և x/(b-a) a/(a-b) և -x/(a-b)

Դ) 3/(24m-4) և a/(6m-1) 4a/4(6m-1)

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ինչպե՞ս են գումարվում միևնույն հայտարարով հանրահաշվական կոտորակները։

հանրահաշվական կոտորակների գումարման ժամանակ, համարիչները գումարվում են, իսկ հայտարարները մնում են անփոփոխ՝

2․ Ինչպե՞ս են գումարվում հակադիր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակները։

Եթե կոտորակների հայտարարները հակադիր արտահայտություններ են, ապա դրանց գումարելու կամ հանելու համար պետք է սկզբում կիրառել հանրահաշվական կոտորակների նշանների փոփոխման կանոնը,

3․ Ինչպե՞ս են գումարվում տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակները։

4․ Կատարել գործողությունները․

ա)xy/3

բ)a-b/7

գ)2x-3y/5

դ)2m-2/m+n

ե)-x-9/x-3

զ)8p-8/p+1

5․ Կատարել գործողությունները․

ա)x/2

բ)3a-1

գ)2a+b/5

դ)-x+2y/7

6․Կատարել գործողությունները․

ա)-x+1/x-1

բ)2/x-y

գ)5a/a-b

դ)3m+3/n-m

ե)-2q+p/p-2q

զ)6a+4b/1-a

7․ Պարզեցրել արտահայտությունը․

ա)3/a

բ)a+3/x

գ)-a/b

դ)5m+3n/4

ե)4x/4

զ)4a/8

8․ Կատարել գործողությունները․

ա)8/a+b

բ)1/x-1

գ)2a/a+b

դ)4/m+n

ե)5x+1/x-3

զ)8p-8/p+1

9․ Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի.

ա)2a+3b/6

բ)2x-4y/8

գ)10m-12/15

դ)20m+6n/15

ե)16p/12

զ)3a²-8a/15

է)74x²/15

ը)54xy-35xy²/63

Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակները ընդհանուր հայտարարի բերելը:

Օգտվելով կոտորակի հիմնական հատկությունից՝ ցանկացած երկու    կոտորակները կարելի է բերել ընդհանուր հայտարարի։ Ընդ որում որպես ընդհանուր հայտարար միշտ կարելի է վերցնել տրված կոտորակների հայտարարարների արտադրյալը՝ A/B=AxD/BxD, C/D= CxB/DxB:

Օրինակ 1/x-1 1/ x+1 կոտորակներն ունեն (x-1)(x+1) = x²-1 ընդհնուր հայտարարը, ուստի 1/x-1=1(x+1)/(x-1)(x+1)= x+1/x²-1; 1/x+1= 1(x-1)/(x+1)(x-1)=x-1/x²-1:

Առաջադրանքներ

1.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x / x – 2
1 / 2 – x = – 1 / x – 2

բ) x / 5 + x = – x / x + 5
3 / x + 5

գ) 4x / x – 1 = -4x / 1 – x
2 – 7x / 1 – x

դ) 2x / 3x + 6 = -> 2x / x + 2
5 / x + 2 -> 15 / x + 2

ե) 16 / 2x – 8 -> 16 / x – 4
7 / x – 4 -> 14 / x – 4

զ) 3 – x / 5 – x -> 6 – 2x / 5 – x
-5 / 5 – x

2.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x / 3x – x^2 -> x / 3 – x
4 / 3 – x -> 4x / 3 – x

բ) 1 / 2 + x -> x – 2 / x^2 – 4
x – 1 / x^2 – 4

գ) 3 / 4 + 6x -> +3 / 9x + 6
5x / 9x + 6 -> 7.5x / 9x + 6

դ) 5x / 3 – x -> – 15x – 5x^2 / x^2 – 9
2 / x^2 – 9

3.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x / 4x + x^2 -> x / 3x + 12
4x / 3x + 12

բ) 13x / 25 – x^2 -> 26x / 2(25 – x^2)
x – 1 / 10 + 2x -> x^2 + 6x – 5 / 2(25 – x^2)

գ) x – 3 / 4 – x^2
5x / x^2 – 4 -> -5x / 4 – x^2

դ) 2 / (x – 3)^2 – > 2 / x^2 – 9
1 + x / x^2 – 9

Առաջադրանքներ։

1․ Գտնել  c−15c հանրահաշվական կոտորակի արժեքը, եթե c=16

1/16

2․ Հետևյալ կոտորակներից ո՞րն է հավասար 3/(x−15)-ի: Ընտրել պատասխանի ճիշտ տարբերակը:

• −(x+15)/−3
• −3/−(x−15)
• (x−15)/−3
• 3/(15−x)
• −3/(15−x)

3․ Կրճատել կոտորակը՝

ա)x+y/2ax

բ)1

գ)x-1/2,5(x-1)

դ)a²-b²/2a(a-b)²

ե)(x-y)²/4xy

զ)5m/n*(a-b)

4․ Հետևյալ կոտորակները բերել 20 x²y հայտարարի

1/20y*1/x²

5/x²*1/20y=5/ 20 yx²

7/20*1/ x²y

11/2x*1/10xy

3/5xy*1/4x

5․ A միանդամը կամ բազմանդամը ընտրեք այնպես, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն՝

12x²y/40xy= x/4

A=7(x-y)

6․ Կրճատել կոտորակները․

ա)x*(a-b)/x(c+d)

բ)c(a+b)/c(m+n)

գ)x(x)/x(x+y)

դ)b/1-b

ե)n(m²)/n(m²-mn)

զ)x(a-b)/x(y-x)

1․ Կրճատել կոտորակները․

Ա) 1/2

Բ) 2/3

Գ) 3/14

Դ) 64/231

Ե) a/3

Զ) 2/3b

Է) x-²

Ը) 2/3mn

Թ) 2/3a-²b²

Ժ) 6/7x²-y-z

2․ Կրճատել կոտորակները․

Ա) 1/2+(x+y)ax

Բ) 1

Գ) 2(x-1)/5(x-1)

Դ)

Ե)

Զ)

Է)

Ը)

3․ Կրճատել կոտորակները․

4․ Կրճատել կոտորակները․

Թեմա՝ «Ամբողջ ցուցիչով աստիճան» թեմայի ամփոփում։

1․ Գրել բացասական ցուցիրով աստիճանի տեսքով․

Ա) a^-15

Բ) b^-10

Գ) C^-5

Դ)D^-13

Ե E^-4

Զ) N^-6

Է) K^-6

Ը) 17^-18

Թ) 15^-9

Ժ) 13^-14

2․ Հաշվել կոտորակի արժեքը․

Ա) 5^-2=1/25

Բ) 16^-1=1/16

Գ) 7^-2=1/49

Դ) 3^-4=1/81

Ե) 1^-36=1/1

Թեմա՝ Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի հատկությունները։

Իմանալով իրական թվերի բազմապատկման կանոնը՝ սահմանենք իրական թվի ամբողջ ցուցիչով աստիճանը:

Օրինակ

4⁻³=1/4³=1/64 7⁻²=1/7²=1/49

0-ի 0 աստիճանը և բացասական աստիճանը չեն սահմանվում: 

Օգտվելով իրական թվերի բազմապատկման օրենքներից՝ դժվար չէ համոզվել, որ այս ձևով սահմանված ամբողջ ցուցիչով աստիճանն ունի հետևյալ հատկությունները՝ 

Նշենք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի ևս երկու հատկություն:

6. Եթե (a > 1) և (m > n), ապա a^m>aⁿ

7. Եթե (0 < a < 1) և (m > n), ապա a^m<aⁿ

Մասնավորապես՝

1) մեկից մեծ թվի դրական աստիճանը մեծ է մեկից, իսկ բացասական աստիճանը՝ փոքր,

2) մեկից փոքր դրական թվի դրական աստիճանը փոքր է մեկից, իսկ բացասական աստիճանը՝ մեծ:

Առաջադրանքներ։

1․ Հաշվել բացասական ցուցիչով աստիճանի արժեքը՝ 

ա) 6^-4 բ) 5^-2 գ) 3^-3 դ) 12^-1

Ա) 6-⁴=1/6⁴=1/1296.

Բ) 5-²=1/5²=1/25.

Գ) 3-³=1/3³=1/27.

Դ) 12-¹=1/12¹=1/12.

Թեմա՝ «Քառանկյուններ» թեմայի ամփոփում

Առաջադրանքներ։

1․ Զուգահեռագծի մի անկյունը 4 անգամ մեծ է մյուս անկյունից: Հաշվել զուգահեռագծի անկյունները:

4x+x=5x

5x=180

x=180:5

x=36

4x=144

Պատ․՝ 36, 144

2․ Զուգահեռագծի C անկյունը 56° է: Գտնել զուգահեռագծի մյուս անկյունները:

Քանի որ զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են, հետևաբար <A=<C=56⁰:

Քանի որ զուգահեռագծի յուրաքանչյուր կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180⁰ է, հետևաբար <A+<B=180⁰:

<B=180-56=124⁰

Քանի որ զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են, հետևաբար <B=<D=124⁰:

Պատ․՝ 56⁰, 124⁰, 56⁰, 124⁰:

3․ Զուգահեռագծի պարագիծը 36 սմ է: Գտնել զուգահեռագծի կողմերը, եթե կողմերից մեկը երկու անգամ մեծ է մյուսից:

x+2x+x+2x=6x

6x=36 սմ

x=36:6

x=6 սմ

2x=12 սմ

Պատ․՝ 6 սմ, 12 սմ, 6 սմ, 12 սմ։

4․ Տրված է ABCD սեղանը, ∢A=37°, ∢C=121°։ Գտնել ∢B և ∢D։

<B=180-37=143⁰

<D=180-121=59⁰

5․ Տրված է ABCD սեղանը, EF-ը միջին գիծն է։ AE=EB, CF=FD, BC=28 մ, AD=30 մ: Գտնել EF-ը:

EF=(30+28):2=29 սմ

Պատ․՝ 29 սմ

6․ Սեղանի կողմերը հարաբերում են ինչպես՝ 8:5:12:7, իսկ սեղանի պարագիծը 128 սմ է: Հաշվել սեղանի կողմերը:

8+5+12+7=32

128:32=4

4*8=32

4*5=20

4*12=48

4*7=28

Պատ.՝ 32,20,48,28