Category: Հանրահաշիվ

1. Համեմատել

ա) 25 > 7 բ) -5 > -15 գ ) 7,2 > 3,5 դ) 2⁴ = 16

2․ Բազմապատկել թվային արտահայտությունները։

ա) 15>11 և 3 >1  բ) 25>3 և 6>3  գ) 16<27 և 3<4

Ա 45>11

Բ 150>9

Գ 48<81

3․ Լուծել հավասարումները։

Ա x=9

Բ x=0

Գ լուծում չունի

4․ Կազմել ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարում, եթե նրա գործակիցները հավասար են․

ա) a=3, b=4, c=5 բ) a=-1, b=3, c=-2

Ա 3x²+4x+5=0

Բ -x²+3x-2=0

5․ Լուծել հավասարումները․

ա) 3x²-6x -9=0

բ) x²-6x +5=0

Ա x1=3;x2=-1

Բ x1=5 x2=1

6․ Տրված է y=|5x| ֆունկցիան: Գտնել

ա)  y -ի արժեքը, եթե x=6; =30

բ) x -ի արժեքը, եթե y=25։ +-5

Թեմա՝ y=√x ֆունկցիայի գրաֆիկը և հատկությունները։

y=√x ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար, սովորականի պես, x անկախ փոփոխականին տանք մի քանի դրական արժեքներ (x<0 դեպքում √x իմաստ չունի) և հաշվենք y կախյալ փոփոխականի համապատասխան արժեքները:Հարմարության համար կընտրենք x-ի այնպիսի արժեքներ, որոնց դեպքում ճշգրիտ որոշվում է քառակուսի արմատի արժեքը:Այսպիսով՝ եթե x=0, y=√0=0, x=1, y=√1=1, x=4, y=√4=2, x=6.25, y=√6.25=2.5, x=9, y=√9=3

Արդյունքում, լրացրինք հետևյալ աղյուսակը:

x	0	1	4	6.25	9
y	0	1	2	2.5	3

Կոորդինատական հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;0),(1;1),(4;2),(6.25;2.5),(9;3) կետերը: Դրանք գտնվում են որոշ կորի վրա: Գծենք այն: 

Ստացանք y=√x ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Գրաֆիկը շոշափում է oy առանցքը (0;0) կետում:

y=√x ֆունկցիայի հատկությունները թվարկելիս կհիմնվենք կառուցված գրաֆիկի վրա:

1. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը [0;+∞) ճառագայթն է
2. y=0 եթե x=0 և y>0 եթե x>0
3. Ֆունկցիան աճում է [0;+∞) ճառագայթի վրա
4. Ֆունկցիան սահմանափակ է ներքևից, բայց սահմանափակ չէ վերևից
5. Ֆունկցիան ունի փոքրագույն արժեք և չունի մեծագույն արժեք y_min=0, եթե x=0  և y_max գոյություն չունի
6. Ֆունկցիան անընդհատ է [0;+∞) ճառագայթի վրա
7. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը օրդինատների առանցքի դրական ճառագայթն է՝ [0;+∞)   

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ո՞րն է y=√x ֆունկցիայի որոշման տիրույթը։ [0;∞)

2․Արդյոք ֆունկցիան ունի՞ մեծագույն և փոքրագույն արժեքներ։ Ֆունկցիան ունի փոքրագույն արժեք և չունի մեծագույն արժեք։

3․ Որոշել y=√x ֆունկցիայի արժեքը, երբ x=1, x=4, x=9, x=16, x=25:

x=1 y=1

x=4 y=2

x=9 y=3

x=16 y=4

x=25 y=5

4․ Գտնել y=√x ֆունկցիայի արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում y=1, y=3, y=6, y=7, y=10։

y=1 x=1²

y=3 x=9

y=6 x=36

y=7 x=49

y=10 x=100

5․ Պատկանում են արդյո՞ք y=√x ֆունկցիայի գրաֆիկին հետևյալ կետերը՝ A(1;1), B(-2;4), C(4;2), D(36;-6), E(81;9):

A(1;1) այո

B(-2;4) ոչ

C(4;2) այո

D(36;-6) ոչ

E(81;9) այո

6․ Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը։ ա)y=√x , բ)y=√-x , գ)y=-√x։

6․ Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը։
ա)y=√x 

բ)y=√-x 
x<0 դեպքում √x իմաստ չունի

գ)y=-√x

Թեմա՝ y=k/x ֆունկցիան և նրա գրաֆիկը։

Դիտարկենք y=2x ֆունկցիան և լրացնենք նրա արժեքների աղյուսակը: 

x	1	2	−1	−2	4	12	−4	−12
y	2	1	−2	−1	12	4	−12	−4

Կառուցենք այս կետերը կոորդինատական հարթության վրա: Ուրվագծվում է երկու ճյուղերից բաղկացած կոր: Տանենք այն:

y=1/x ֆունկցիայի գրաֆիկի պես  այս կորը ևս կոչվում է հիպերբոլ:

Հիմա դիտարկենք k<0 դեպքերից որևէ մեկը, օրինակ՝ k=−1 -ը:

Կառուցենք y=−1/x ֆունկցիայի գրաֆիկը (այստեղ k=−1):

Ցանկացած y=−f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին x-երի առանցքի նկատմամբ: Մասնավորապես, y=−1/x ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է y=1/x ֆունկցիայի գրաֆիկին x -երի առանցքի նկատմամբ: Ստանում ենք հիպերբոլ, որի ճյուղերը գտնվում են երկրորդ և չորրորդ քառորդներում:

Ընդհանուր դեպքում՝  y=kx, k≠0 ֆունկցիայի գրաֆիկը հիպերբոլ է:

1) Եթե k>0, ապա նրա ճյուղերը գտնվում են առաջին և երրորդ քառորդներում:

2) Եթե k<0, ապա նրա ճյուղերը գտնվում են երկրորդ և չորրորդ քառորդներում:

3) (0;0) կետը հիպերբոլի համաչափության կենտրոնն է: 

4) y=x և y=−x ուղիղները հիպերբոլի համաչափության առանցքներն են: 

5) x-երի և y-երի առանցքները հիպերբոլի ասիմպտոտներն են:  

Սովորաբար ասում են, որ x և y մեծությունները հակադարձ համեմատական են, եթե xy=k (որտեղ k -ն 0 -ից տարբեր թիվ է), կամ որ համարժեք է՝ y=k/x

Այս պատճառով  y=k/x ֆունկցիան երբեմն անվանում են հակադարձ համեմատականության ֆունկցիա (ինչպես y=kx  -ը՝ ուղիղ համեմատականության ֆունկցիա):

k թիվն անվանում են հակադարձ համեմատականության գործակից:

y=k/x ֆունկցիայի հատկությունները։

1. Ֆունկցիան որոշված է ցանկացած կետում, բացի x=0 կետից՝ D=(−∞;0)∪(0;+∞)

2. Եթե x>0, ապա y>0: Եթե x<0, ապա y<0

3. Ֆունկցիան նվազում է (−∞;0) և (0;+∞) միջակայքերի վրա:

4. Ֆունկցիան ոչ վերևից, ոչ էլ ներքևից սահմանափակ չէ:

5. Ֆունկցիան չունի ոչ մեծագույն, ոչ էլ փոքրագույն արժեքներ:

6. Ֆունկցիան անընդհատ է (−∞;0) և (0;+∞) միջակայքերում, իսկ x=0 կետում խզվում է:

Առաջադրանքներ։

1․Գրել  y=5/x ֆունկցիայի հակադարձ համեմատականության գործակիցը: 5

2․Ո՞ր քառորդներում է գտնվում y=−95/x ֆունկցիայի գրաֆիկը:

ա) 2-րդ և 3 -րդ քառորդներում բ) 2-րդ և 4 -րդ քառորդներում

գ) 1-ին և 5 -րդ քառորդներում դ) 1-ին և 4 -րդ քառորդներում

3․ Կառուցել y=4/x ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գրաֆիկի օգնությամբ  գտնել. ա) y-ի արժեքը, եթե x=1 բ) x-ի արժեքը, եթե y=−2

Ա=1 x=4

y=-2 x=1/2

4․ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկն է հիպերբոլը:

ա) y=−3x բ) y=4x² գ) y=−4/x դ) ոչ մեկի ե) y=(−x+1)/4

5․ Տրված է y=15/x ֆունկցիան: Գտնել y -ը, եթե x=3

5

6․ a-ի ո՞ր արժեքի դեպքում է (a;−1) կետը պատկանում  y=2/x  ֆունկցիայի գրաֆիկին: 

a=-2

7․ Հայտնի է, որ y=a/x հիպերբոլն անցնում է (8;7) կետով: Գտնել a-ն:

a=56

8․ Արդյո՞ք  B(9;−17) կետը պատկանում է y=153/x ֆունկցիայի գրաֆիկին:

ոչ

Թեմա՝ y=|x| ֆունկցիան և նրա գրաֆիկը։

Ցանկացած x իրական թվի համար կարելի է հաշվել նրա մոդուլը՝  |x| -ը: Սա նշանակում է, որ կարելի է խոսել y=|x| ֆունկցիայի մասին: Ունենք՝ 

Կառուցենք այս ֆունկցիայի գրաֆիկը: Հարմար է գրաֆիկը կառուցել կտորներով:

Առաջին քայլ: Սկզբում կառուցենք y=x ուղիղը և առանձնացնենք նրա այն մասը, որը համապատասխանում է x∈[0;+∞) արժեքներին (x -երի առանցքի դրական ճառագայթին):

Երկրորդ քայլ: Հիմա կառուցենք y=−x ուղիղը և առանձնացնենք նրա այն մասը, որը համապատասխանում է x∈(−∞;0) արժեքներին (x -երի առանցքի բացասական ճառագայթին):

Երրորդ քայլ: Վերջապես, երկու կտորները նկարենք նույն կոորդինատական հարթության վրա: Ստանում ենք y=|x| ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Թվարկենք գրաֆիկից բխող մի քանի հատկություններ:

1. Ֆունկցիան որոշված է ցանկացած կետում՝ D=(−∞;+∞)

2. Ցանկացած x -ի համար, |x|>0, բացի x=0 դեպքից և |0|=0

3. Ֆունկցիան նվազում է (−∞;0] ճառագայթի վրա և աճում է [0;+∞) ճառագայթի վրա:

4. Ֆունկցիան սահմանափակ չէ վերևից, բայց ներքևից սահմանափակ է: 

5. Ֆունկցիան չունի մեծագույն արժեք, բայց ունի փոքրագույն արժեք՝ 0 -ն:

6. Ֆունկցիան անընդհատ է ամբողջ թվային առանցքի վրա՝ (−∞;+∞)

7. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը օրդինատների առանցքի դրական ճառագայթն է՝ [0;+∞)

Առաջադրանքներ։

1․ Տրված է y=|8x| ֆունկցիան: Գտնել

ա) y -ի արժեքը, եթե x=4; բ) x -ի արժեքը, եթե y=24

x1=3;x2=-3

2․ Որոշել, թե ո՞ր քառորդներում է գտնվում y=|145x| ֆունկցիայի գրաֆիկը:

ա) 1-ին և 4 -րդ քառորդներում բ) 1-ին և 3 -րդ քառորդներում

գ) 2-րդ և 3 -րդ քառորդներում դ) 1-ին և 2 -րդ քառորդներում

3․ Տրված է y=−10|x| ֆունկցիան: Գտնել f(5) -ը:

-50

4․ y=|ax| ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է այս կետով՝ (−10;40): Գտնել a -ն, եթե հայտնի է, որ այն դրական թիվ է:

a=4

5․ Տրված է y=|x| ֆունկցիան: Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

• Ֆունկցիան սահմանափակ է և՛ վերևից, և՛ ներքևից:
• Ֆունկցիան սահմանափակ չէ ոչ վերևից, ոչ էլ ներքևից:
• Ֆունկցիան սահմանափակ չէ վերևից, բայց սահմանափակ է ներքևից:

6․ Արդյո՞ք   A(-2;16) և B(7;9) կետերը պատկանում են  y=8|x|  ֆունկցիայի գրաֆիկին:

y=8|x|  A(-2;16) պատկանում է
y=8|x| B(7;9) չի պատկանում

7․ Ֆունկցիան տրված է f(x)=3|x| բանաձևով: Հաշվել f(11)+f(−5)։

f(x)=3|x|  x=11 y=33
f(x)=3|x|  x=-5 y=15
լ f(11)+f(−5)=33+15=48

8․ Կառուցել  ֆունկցիաների գրաֆիկները: 

ա) y=2|x|

բ) y=-3|x|

գ) y=1,5|x|

դ) y=|x+4|

ե) y=2|x-3|

Թեմա՝ Քառակուսային հավասարումների կիրառությունը խնդիրներ լուծելիս։

Երբեմն ոչ թե պատրաստի թվային տեսքով է հանդես գալիս քառակուսային (քառակուսի) հավասարումը՝ x²-10x+7=0, այլ պարզապես խնդրի պայմաններից է այն բխում և խնդրի լուծման համար անհրաժեշտ է լինում լուծել քառակուսի հավասարում։

Օրինակ․՝ “Գտնել երկու թվեր, եթե գիտենք, որ դրանց գումարը
հավասար է 20-ի, իսկ արտադրյալը՝ 96”։

Լուծում՝ Թվերից մեկը նշանակենք x-ով, իսկ մյուսը կլինի՝ 20-x, այդ դեպքում կունենանք, որ x (20-x)=96,բացելով փակագծերը, կստանանք քառակուսային հավասարում 20x-x²=96, ձևափոխելով՝ x²-20x+96=0 և լուծելով հավասարումը, կունենանք։ Այսինքն, պատասխանը կլինի 8 և 1
Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել խնդիրը․

10 թիվը ներկայացնել երկու գումարելիների տեսքով այնպես, որ այդ գումարելիների արտադրյալըհավասար լինի 21։ Գտնել գումարելիները։

3;7

2․ Լուծել խնդիրները քառակուսային հավասարումների օգնությամբ։

ա) Երկու հաջորդական բնական թվերի արտադրյալը 110 է։ Գտնել այդ թվերը։

10;11

բ) Երկու իրար հաջորդող բնական թվերի արտադրյալը 210 է։ Գտնել այդ թվերը։

14;15

գ) Բնական թվերից մեկը մեծ է մյուսից 7-ով, իսկ նրանց արտադրյալը հավասար է 44։ Գտնել այդ թվերը։

4;11

դ) Բնական թվերից մեկը փոքր է մյուսից 12-ով, իսկ նրանց արտադրյալը 448 է։ Գտնել այդ թվերը։

16;28

3․ Լուծել խնդիրները․

ա) Գտնել երկու թվեր, որոնց գումարը 20 է, իսկ քառակուսիների գումարը՝ 218։

13;7

բ) Գտնել երկու թվեր, որոնց գումարը -2 է, իսկ քառակուսիների գումարը՝ 34

-5;3

Թեմա՝ Վիետի թեորեմը։

Ֆրանսուա Վիետ՝ (1540 -1603) ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, կրթությամբ իրավաբան:

Այս թեորեմի միջոցով լուծում են քառակուսային հավասարումներ:Առավել հարմար է Վիետի թեորեմը կիրառել բերված տեսքի հավասարումների (երբ a=1)։

 Եթե x²+px+q=0 բերված տեսքի քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է, ապա՝ {x₁⋅x₂=q x₁+x₂=−p, որտեղ x₁ -ը և x₂ -ը x²+px+q=0 հավասարման արմատներն են:

Օրինակ՝ Լուծենք հետևյալ հավասարումը:

x²−14x+40=0,{x₁⋅x₂=40 x₁+x₂=14 x₁=10,x₂=4

Վիետի թեորեմը տեղի ունի նաև ընդհանուր դեպքում, երբ a≠1

Եթե ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է ապա՝ 

{x₁⋅x₂=c/a x₁+x₂=−b/a, որտեղ x₁ -ը և x₂ -ը ax²+bx+c=0 հավասարման արմատներն են:Իրոք, ընդհանուր դեպքը գալիս է բերված տեսքի դեպքին, եթե հավասարումը բաժանել a -ի վրա՝

ax²+bx+c=0∣:a a/ax²+b/ax+c/a=0⇒x²+b/ax+c/a=0 {x₁⋅x₂=c/a x₁+x₂=−b/a

Օրինակ՝  Վիետի թեորեմի օգնությամբ լուծենք հավասարումը:

12x²+x−1=0 12/12x²+1/12x−1/12=0⇒x²+1/12x−1/12=0 ⎨x₁⋅x₂=−1/12 x₁+x₂=−1/12 x₁=−1/3 x₂=1/4

Վիետի թեորեմի օգնությամբ, կարելի է կազմել քառակուսային հավասարումը, եթե հայտնի են նրա արմատները:

Օրինակ՝ Ո՞ր հավասարման արմատներն են 2 և −0,3 թվերը:

x²+px+q=0 2+(−0,3)=1,7=−p 2⋅(−0,3)=−0,6=q Պատասխան՝ x²−1,7x−0,6=0 

Առաջադրանքներ։

1.Պարզել՝ հավասարումն արմատներ ունի՞ (եթե ունի, գտնել նրանց գումարը և արտադրյալը)

Ա արմատներ չունի

Բ արմատներ չունի

Գ x₁+x₂=-3 x₁*x₂=-2

Դ _x1+_x2=3 x1*^_x2=2

Ե x₁=1

Զ x₁=4

2․ Կազմել բերված քառակուսային հավասարում, եթե հայտնի են նրա արմատների L գումարը և K արտադրյալը

Ա x²-3x-28

Բ x²+3x-18

Գ x²+3,5x+2,5

Դ x²-5/6+1/6

Ե x²-9=0

Զ x²-4x+4

3․ Կազմել բերված տեսքի քառակուսային հավասարում, եթե հայտի են նրա արմատները․

ա) x²-6x+5=0
բ) x²-x-6=0
գ) x²-10x+24=0
դ) x²+9x+18=0
ե) x²-4,5x+2=0
զ) x²+4,8-6=0
է) x²+1=0
ը) x²-10x+25=0

4․ Լուծել հավասարումներն ըստ Վիետի թեորեմի․

ա)x₁=4 x₂=2
բ) x₁=-2 x₂=-3
գ) x₁=-1 x₂=-1
դ) x₁=2 x₂=-3

5․Լուծել հավասարումներն ըստ Վիետի թեորեմի․

1.x₁=5 x₂=-3
2. x₁=-1 x₂=-9

1.x₁=2 x₂=-4
2.x₁=7 x₂=5

Թեմա՝ Բերված տեսքի քառակուսային հավասարումներ:

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել հավասարումները․

Ա x1=4;x2=2

Բ x1=5;x2=-3

Գ x1=-2;x2=-4

Դ x1=3;x2=-5

Ե x1=-3;x2=-17

Զ x1=23;x2=-1

Է x1=10+√31;x2=10-√31

Ը x1=-1;x2=-22

2․ Լուծել հավասարումները․

Ա 2

Բ x1=5;x2=3

Գ x1=2;x2=1

Դ x1=-1/3;x2=-3

Ե x1=-4;x2=-12

Զ x1=11;x2=-2

Է լուծում չունի

Ը լուծում չունի

3․ Լուծել հավասարումները․

Ա x1=2;x2=-1

Բ x1=8;x2=-3

Գ x1=2;x2=1

Դ x1=7;x2=6

Ե x1=1;x2=-2

Զ x1=3;x2=-2

Է x1=-6;x2=-8

Ը x1=-6;x2=-11

1. Լուծել հավասարումները․

Ա x(-3;0)

Բ x=1/2

Գ x(-2;2)

Դ x1=3;x2=2

Ե x1=(-3+√33)/12;x2=(-3-√33)/12

Զ x1=1/5;x2=-3

2․Լուծել հավասարումները․

Ա x1=3/2;x2=-1/2

Բ x1=15/9;x2=-1/3

Գ x1=3;x2=1/2

Դ x1=3/4;x2=-1

Ե լուծում չունի

Զ x1=-1/3;x2=-2/3

Է լուծում չունի

Ը լուծում չունի

3․ Լուծել հավասարումները․

Ա x1=-1;x2=-3/2

Բ -3

Գ x1=1;x2=-4

Դ լուծում չունի

Ե x1=2;x2=-18

4․ Լուծել հավասարումները․

Ա x1=-3/2;x2=-3

Բ x1=-2/3;x2=-3

Գ x1=1;x2=-4/3

Դ x1=2;x2=-5/2

Թեմա՝ Քառակուսային հավասարման գաղափարը։ Թերի քառակուսային հավասարումներ։

ax²+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային (քառակուսի) հավասարում:

Օրինակ

2x²+3x−8=0, −3x²+2x+1=0, x²+5x=0, 2x²−4=0, 25x²=0 հավասարումները քառակուսային հավասարումների օրինակներ են:

a թիվն անվանում են ավագ անդամի՝ x² -ու գործակից, b թիվը՝ x -ի գործակից, c -ն՝ ազատ անդամ:

Քանի որ a≠0, ապա ցանկացած քառակուսային հավասարում ունի ax² ավագ անդամը: Այդ պատճառով քառակուսային հավասարումն անվանում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարում:

Քառակուսային հավասարման ուսումնասիրման հարցերում կարևոր դեր է խաղում հետևյալ թիվը՝ D=b²−4ac

D=b²−4ac թիվն անվանում են ax²+bx+c=0  քառակուսային  հավասարման  տարբերիչ  կամ՝  դիսկրիմինանտ:

Օրինակ

1) 2x²−3x−5=0 հավասարման մեջ a=2 -ը x² -ու գործակիցն է, b=−3 -ը՝ x -ի գործակիցը, իսկ c=−5 -ը՝ ազատ անդամը: Հաշվենք տարբերիչը` D=(−3)²−4⋅2⋅(−5)=9+40=49

2) x²−7=0 հավասարման մեջ b=0, այդ պատճառով էլ չկա x պարունակող անդամը: x² -ու գործակիցը a=1 -ն է, իսկ ազատ անդամը՝ c=−7: Տարբերիչը հավասար է՝ D=−4⋅(−7)=28

Հիշենք, որ

x անհայտով հավասարման արմատ կամ լուծում անվանում են այն թիվը, որը հավասարման մեջ x -ի փոխարեն տեղադրելով ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն: 

Լուծել հավասարումը՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր արմատները կամ ցույց տալ, որ արմատներ չկան: 

Ուշադրություն

Եթե ax²+bx+c=0 տեսքի հավասարման մեջ a=0, այսինքն, չկա x² պարունակող անդամը, ապա հավասարումը քառակուսային չէ:

Վերջին երեք օրինակներում a≠0 (այսինքն, դրանք քառակուսային հավասարումներ են), սակայն՝

x²+2x=0 հավասարման մեջ c=0

2x²−6=0 հավասարման մեջ b=0

12x²=0 հավասարման մեջ երկուսն էլ զրո են՝ b=0, c=0

Այս օրինակներում բերվածները կոչվում են թերի հավասարումներ:

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ

Լուծենք հետևյալ թերի հավասարումները՝

1) x²+3x=0

x²+3x=0 x(x+3)=0 x=0 x=−3

Պատասխան՝ x₁=0, x₂=−3

2) 2x²−8=0

2x²−8=0 x²−4=0 (x−2)(x+2)=0 x₁=2 x₂=−2

Պատասխան՝ x₁=2,x₂=−2

3) 7x²=0

7x²=0, x²=0, x=0

Պատասխան՝ x=0

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում քառակուսային։

ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային (քառակուսի) հավասարում:

2․ Ինչպե՞ս են հաշվում քառակուսային հավասարման տարբերիչը։
D=b²−4ac

1) 2x²−3x−5=0 հավասարման մեջ a=2 -ը x² -ու գործակիցն է, b=−3 -ը՝ x -ի գործակիցը, իսկ c=−5 -ը՝ ազատ անդամը: Հաշվենք տարբերիչը` D=(−3)²−4⋅2⋅(−5)=9+40=49

2) x²−7=0 հավասարման մեջ b=0, այդ պատճառով էլ չկա x պարունակող անդամը: x² -ու գործակիցը a=1 -ն է, իսկ ազատ անդամը՝ c=−7: Տարբերիչը հավասար է՝ D=−4⋅(−7)=28

3․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում թերի քառակուսային։

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

4․ Կազմել ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարում, եթե նրա գործակիցները հավասար են․

Ա 3x²+4x+5=0

Բ 3x²-2x+6=0

Գ x²-x+2=0

Դ -x²+3x-2=0

5․ Հաշվել քառակուսային հավասարման տարբերիչը․

Ա 49

Բ 21

Գ 0

Դ -3

6․ Ստուգել՝ 0 թիվը հավասարման արմա՞տ է․

Ա այո

Բ ոչ

Գ ոչ

Դ ոչ

Ե այո

Զ ոչ

Լուծել հավասարումները․

Ա x(-1;1)

Բ 0

Գ x(0;1)

Դ x(0;-3)

Ե x(-2;3)

Զ x(-5;7)

Է x(0;0.5)

Ը x(0;-2)

Թ x(-5;8)

Ժ x(-1;4)

7․ Լուծել հավասարումները․

Ա x(0;4)

Բ x(-6;0)

Գ x(-1/3;0)

Դ x(0;0.5)

Ե x(-2/3;0)

Զ 0

Է x(0;5/7)

Ը x(0;3/11)

Թ x(0;6)

8․ Լուծել հավասարումները․

Ա x(-√3;√3)

Բ x(-√5;√5)

Գ x(-√3;√3)

Դ x(-√50;√50)

Ե x(-√3/2;-√3/2)

Զ լուծում չունի

Է x(-48;48)

Ը x(-5.6;5.6)

Թ x(-√200;√200)

Թեմա՝ Քառակուսային եռանդամի վերլուծումը արտադրիչների։

ax²+bx+c տեսքի բազմանդամը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

Օրինակ՝ x²+4x−6, 2x²−5x+7, x²+6x, 4x²−8, 9x²  բազմանդամները քառակուսային եռանդամների օրինակներ են:

a թիվը անվանում են ավագ անդամի՝  x² -ու գործակից, b թիվը՝  x -ի գործակից, c -ն՝ ազատ անդամ:

Քառակուսային եռանդամի ուսումնասիրման հարցերում խիստ կարևոր դեր է խաղում հետևյալ թիվը՝ D=b²−4ac

D=b²−4ac թիվն անվանում են ax²+bx+c քառակուսային եռանդամի  տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

Քառակուսային եռանդամների ուսումնասիրման ամենակարևոր հարցերից են դրանց արտադրիչների վերլուծումը և ax²+bx+c=0 հավասարման լուծումը:

1) Եթե D>0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրարից տարբեր գծային արտադրիչների: 

2) Եթե D=0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար գծային արտադրիչների: 

3) Եթե D<0, ապա եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների:

ax²+bx+c=a⋅(x−x₁)(x−x₂), որտեղ՝

Օրինակ`

1) Վերլուծենք արտադրիչների 2x²−3x+1 եռանդամը:  

Հաշվենք D=b²−4ac տարբերիչը՝ D=(−3)²−4⋅2⋅1=9−8=1>0

Ըստ բանաձևերի՝ x₁=(3+√1)/2⋅2=1, x₂=(3-√1)/2⋅2=1/2

Հետևաբար՝ 2x²−3x+1=2(x−1)(x−1/2)

2) Դիտարկենք x²+8x+16 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=8²−4⋅1⋅16=64−64=0

Այն հավասար է զրոյի հետևաբար, եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար  արտադրիչների: Դա կարելի է անել, օրինակ այսպես՝

x²+8x+16=x²+2⋅x⋅4+4²=(x+4)²=(x+4)(x+4)=(x+4)²

Կիրառեցինք քառակուսիների գումարի բանաձևը:

3) Դիտարկենք x²+4x+5 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=4²−4⋅1⋅5=16−20=−4<0

Այն բացասական է, հետևաբար, եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների: 

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր բազմանդամն են անվանում քառակուսային եռանդամ։

Այն բազմանդամը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

2․ Ինչի՞ է հավասար քառակուսային եռանդամի տարբերիչը։

D=b²−4ac

3․ Հետևյալ արտահայտություններից ո՞րն է հանդիսանում քառակուսային եռանդամ: Ընտրիր ճիշտ պատասխանի տարբերակը:

ա) 14x²−3x−1 բ) 4x−5 գ) x+5/2x−3

4․ Արդյո՞ք բազմանդամը քառակուսային եռանդամ է․

Ա ոչ

Բ այո

Գ այո

Դ ոչ

5․ a-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում է բազմանդամը քառակուսային եռանդամ․

Ա a=0

a≠1

⌀

a=R

6․ Նշել քառակուսային եռանդամի ավագ, միջին և ազատ անդամները։

ավագ՛ ա)x² բ)x2 գ)x² դ)2x² ե)3 զ)x² է)2x² ը)-x²

միջին՛ ա)3x բ)0 գ)x դ) ե)3x զ)-x է)4 ը)0

ազատ՛ ա)1 բ)1 գ)2 դ) ե)0 զ)0 է)x ը)10

7․ Կազմել քառակուսային եռանդամ տված գործակիցներով։

3x²+4x+5

3x²-2x+6

x²-x+2

-x²+3x-2

8․ Գրել քառակուսային եռանդամի a, b և c գործակիցները․

a=6 b=1 c=-2

a=1 b=-1 c=7

a=-5 b=3 c=-1

a=-1 b=1 c=1

9․ Առանձնացնել լրիվ քառակուսին․

գ 12,25

դ 0,25

ե 56.25

զ -1

է-4

ը -2

10․ Հաշվել քառակուսային եռանդամի տարբերիչը․

Ա 1

Բ 1

Գ 49

Դ 49

Ե -4

Զ 0

Է 0

Ը 1

Թ -4