Թեմա՝ Թվաբանական գործողություններ իրական թվերի հետ։
a,b,c իրական թվերի համար տեղի ունեն գումարման և բազմապատկման ընդունված կանոնները՝
a+b=b+a ab=ba a+(b+c)=(a+b)+c a(bc)=(ab)c (a+b)c=ac+bc:
Տեղի ունեն նաև թվերի նշանների վերաբերյալ հետևյալ կանոնները՝
— երկու դրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— երկու բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— դրական և բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) բացասական թիվ է:
Թվաբանական գործողությունները իրական թվերի հետ ունեն հետևյալ հատկությունները:
1. Ռացիոնալ թվերի հետ ցանկացած թվաբանական գործողության (բացի 0-ի վրա բաժանելուց) արդյունքում ստացվում է ռացիոնալ թիվ:
2. Իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության արդյունքում կարող է ստացվել ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թիվ:
3. Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության (բացի 0-ի վրա բաժանելուց և բազմապատկելուց) արդյունքում ստացվում է իռացիոնալ թիվ:
Բերված կանոններն ու հատկությունները տեսական բնույթ ունեն: Հիշում ենք, որ իրական թվերը անվերջ տասնորդական կոտորակներ են: Այդ պատճառով, գործնականում, հարմար է թվաբանական գործողությունները կատարել մոտավոր հաշված (կլորացրած) կոտորակների հետ:
Երկու իրական թվերի գումարը (տարբերությունը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը կլորացնում են նույն ճշտությամբ, ապա գումարում են (հանում են) ստացված մոտավորությունները:
Օրինակ
Մոտավոր հաշվենք a=3.889217010203… և b=−1.260076(27)… թվերի գումարը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ:
1) Կլորացնենք այս թվերը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝
a≈3.89,b≈−1.26:
2) Կատարենք գումարումը՝
a+b≈3.89+(−1.26)==3.89−1.26=2.63:
Երկու իրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը կլորացնում են նույն ճշտությամբ, բազմապատկում են (բաժանում են) ստացված մոտավորությունները, ապա արդյունքը կլորացնում են նույն ճշտությամբ:
Օրինակ
Մոտավոր հաշվենք վերևի c=4.579(128) և 2.1122334455… թվերի արտադրյալը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ:
1) Կլորացնենք այս թվերը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝
c≈4.58,d≈2.11:
2) Կատարենք բազմապատկումը՝
c⋅d≈4.58⋅2.11=9.6638:
3) Կլորացնենք բազմապատկման արդյունքը նույն ճշտությամբ՝
c⋅d≈9.66:
Այսպիսով, առավել անկանխատեսելի է այն դեպքը, երբ գործողությունները կատարվում են երկու իռացիոնալ թվերի հետ: Այս դեպքում արդյունքը կարող է լինել ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թիվ:
Օրինակ
ա) √3⋅√3=3 իռացիոնալ թվերի արտադրյալը տալիս է ռացիոնալ թիվ:
բ) √3⋅√5=√15 իռացիոնալ թվերի արտադրյալը տալիս է իռացիոնալ թիվ:
Հիշենք, որ ցանկացած իրական թիվ անվերջ տասնորդական կոտորակ է՝
— ռացիոնալ թվերն անվերջ պարբերական կոտորակներ են, իսկ
— իռացիոնալ թվերը՝ անվերջ ոչ պարբերական կոտորակներ:
Ուստի, գործնականում, հարմար է թվաբանական գործողությունները կատարել մոտավոր հաշված (կլորացրած) կոտորակների հետ:
1) Երկու իրական թվերի գումարը (տարբերությունը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը պետք է կլորացնել նույն ճշտությամբ, ապա գումարել (հանել) ստացված արդյունքները:
2) Երկու իրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը պետք է կլորացնել նույն ճշտությամբ, բազմապատկել (բաժանել) ստացված մոտավորությունները, ապա արդյունքը կլորացնել նույն ճշտությամբ:
Առաջադրանքներ
1․Մինչև 0,1 ճշտությամբ կլորացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը, եթե
ա) a= 3,28 b= 0,11 բ) a=-7,17 b= -0,33 գ) a=2,7235 b=-3,42426 դ) a=2,7(3) b=3,4(2)
Ա. 3,3+0,1=3,4, 3,3-0,1=3,2
Բ -7,2+(-0,3)=-7,5, -7,2-(-0,3)=-6,9
Գ a=2,7+(-3,4)=-0,7, 2,7-(-3,4)=6,1
Դ a=2,7+3,4=6,1, 2,7-3,4=-0,7
2․Մինչև 0,01 ճշտությամբ կլորացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը, եթե
ա) a=1,4545 b=-1,203 բ) a=2,1264 b=-3,1145
գ) a=-5,777 b= 2,536 դ) a=0,5642 b=-3,573
Ա 1,45+(-1,20)= 0,25, 1,45-(-1,20)=2,65
Բ 2,13+(-3,11)=-0,98, 2,13-(-3,11)=5,24
Գ 5,78+2,54=8,32, 5,78-2,54=3,24
Դ 0,56+(-3,57)=-3.01, 0,56-(-3,57)=4,13
3․Մինչև 0,1 ճշտությամբ կլորացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր արտադրյալն ու քանորդը, եթե
ա) a=-2,435 b=1,923 բ) a=2,14564 b=0,78788
գ) a=-5,768 b= 2,534 դ) a=0,56 b=0,(3)
Ա -2,4*1,9=-4.56, -2,4:1,9=-1.26
Բ 2,1*0,8=1.68, 2,1:0,8=2.625
Գ -5,8*2,5=-14.25, -5,8:2,5=-2.32
Դ 0,6*0,3=0,18, 0,6:0,3=2
4․Մինչև 0,01 ճշտությամբ կլորացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը, եթե
ա) a=0,253 b=0,75 բ) a=3,5781 b=-0,08788
գ) a=-0,045 b= -0,593 դ) a=4,(2) b=1,(3) ե ) a=0,(2) b=2
Ա=0,25+0,75=1, 0,25-0,75=-0,50
Բ 3,58+(-0,09)=3,49, 3,58-(0,09)=3,67
Գ -0,04+(-0,59)=-0,63, -0,04-(-0,59)=0,55
Դ 4,22+1,33=5,55, 4,22-1,33=2,89
Ե 0,22+2,00=2,22, 0,22-2,00=-1.88
5.Նշել մի որևէ թիվ, որը գտնվում է տված թվերի միջև
ա) a=2,3 b=2,4 բ) a=3,2 b=3,(2) գ) a=-3,15 b=-3,14
Ա 2,31
Բ 3,21
Գ -3,148
6․ Ճի՞շտ է արդյոք անհավասարությունը․
ա) 3,5+2,729<3,6+2,729 բ) -3,21+0,(4)<-3+0,(4) գ) -5,6+3,2>-5,1+3,(2)
դ) 3,7⋅0,8< 3,8⋅0,8 ե) -5,1⋅0,(3)< -5⋅0,(3) զ) -3,(8)⋅0,5>-3,8⋅0,(5)
Ա Ճիշտ է
Բ Ճիշտ է
Գ Սխալ է
Դ Ճիշտ է
Ե Ճիշտ է
Զ Սխալ է
Արեն Մնացականյան 